Усі середовища, крім вільного простору, в дійсності не є ідеальними діелектриками. При поширенні радіохвилі в атмосфері, в товщі Землі тощо частина енергії хвилі переходить у тепло, поглинається середовищем. Перехід енергії радіохвилі в тепло може відбуватися або за рахунок наявності в середовищі провідності, або за рахунок так званих діелектричних втрат. При наявності провідності радіохвиля викликає в середовищі струм провідності, густина якого визначається за формулою: $$\boldsymbol{\delta}{\text{пр}} = \sigma \mathbf{E}. \tag{1.29}$$ Миттєва потужність теплових втрат в елементарному об’ємі $dV$ за формулою Джоуля-Ленца: $P = u i$. Ураховуючи, що в елементарному об’ємі $i = \delta dS$, а $u = E dl$, миттєву потужність втрат в одиниці об’єму можна визначити наступним чином: $$p = \frac{P}{\Delta V} = \frac{(E \Delta l)(\delta \Delta S)}{\Delta S \Delta l} = E \delta = \sigma E^2.$$ Так само, як і при розрахунку кіл змінного струму, можна перейти від миттєвої потужності до середньої за період: $$P{\text{сер}} = \frac{\sigma E_m^2}{2}. \tag{1.30}$$ Таким чином, чим вища провідність середовища, в якому поширюється хвиля, тим більші втрати енергії в даному середовищі. Фізична природа діелектричних втрат також теплова, але не пов’язана зі струмами провідності. Діелектричні втрати пов’язані з гістерезисом (запізнюванням), що відбувається при поляризації речовини в змінному електромагнітному полі. Спрощено діелектричні втрати можна розглядати як результат взаємного «тертя» молекул речовини, що поляризуються під впливом змінного електричного поля. В результаті цього «тертя» енергія електромагнітного поля переходить у теплову енергію. Для зручності розрахунку діелектричні втрати характеризують еквівалентною питомою провідністю, наявність якої викликала б такі самі втрати, які в дійсності викликає діелектричний гістерезис. Оскільки поляризація речовини відбувається по-різному на різних частотах, діелектрична проникність середи та її еквівалентна провідність залежать від частоти, однак практично з цією залежністю можна не рахуватися аж до сантиметрових хвиль.

ТАБЛИЦЯ 1.1

У табл. 1.1 наведено середні значення еквівалентних провідностей та відносних діелектричних проникностей $\varepsilon’$ деяких середовищ (при $\lambda > 10$ см).

Радіохвиля викликає в поглинальному середовищі струми двох видів: струм зміщення та струм провідності. Співвідношення між цими токами залежить від питомої провідності та діелектричної проникності середовища, а також від частоти радіохвилі. Властивості поглинального середовища зручно характеризувати відношенням амплітуд густини струму провідності $\delta_{\text{пр } m}$ і зміщення $\delta_{\text{зм } m}$. У разі гармонічної залежності поля від часу амплітуда густини струму зміщення: $\delta_{\text{зм } m} = \omega \varepsilon E_m$ [[1.3. Основні закони електромагнітного поля. Рівняння Максвелла| ф-ла (1.8)]]. Відношення $\frac{\delta_{\text{пр } m}}{\delta_{\text{зм } m}}$:

$$\frac{\delta_{\text{пр } m}}{\delta_{\text{зм } m}} = \frac{\sigma E_m}{\omega \varepsilon E_m} = \frac{\sigma}{\omega \varepsilon}. \tag{1.31}$$

Підставивши в останню формулу $\varepsilon = \varepsilon’ \varepsilon_0$, виразивши $\omega$ через довжину хвилі у вакуумі $\omega = 2\pi f = 2\pi \frac{c}{\lambda_0}$, після підстановки чисельних значень $c$ та $\varepsilon_0$ отримаємо:

$$\frac{\delta_{\text{пр } m}}{\delta_{\text{зм } m}} = \frac{60 \sigma \lambda_0}{\varepsilon’}. \tag{1.31}$$

Відношення $\frac{\delta_{\text{пр } m}}{\delta_{\text{зм } m}}$ для деяких середовищ при різних довжинах хвиль наведено в табл. 1.2. Із цієї таблиці видно, що одне й те саме середовище може поводитися по-різному на різних частотах. Так, наприклад, сухий ґрунт на наддовгих хвилях наближається за своїми властивостями до ідеального провідника, а на сантиметрових хвилях — до ідеального діелектрика.

ТАБЛИЦЯ 1.2

Виведемо вираз для плоскої хвилі в поглинальному середовищі. Скористаємося ф-лою (1.28). Величина $\dot{k}$, що входить у формулу, визначається параметрами середовища. У поглинальному середовищі, крім параметрів $\mu$ та $\varepsilon$, необхідно враховувати питому провідність $\sigma$. Наявність провідності змінює густину струму. В поглинальному середовищі:

$$\boldsymbol{\delta} = \boldsymbol{\delta}{\text{зм}} + \boldsymbol{\delta}{\text{пр}} = i \omega \varepsilon \dot{\mathbf{E}} + \sigma \dot{\mathbf{E}}. \tag{1.32}$$

Формулу (1.32) можна привести до вигляду (1.8), якщо винести за дужки $i \omega \dot{\mathbf{E}}$:

$$\dot{\delta} = i \omega \left( \varepsilon - i \frac{\sigma}{\omega} \right) \dot{E}. \tag{1.33}$$

Величина $\varepsilon - i \frac{\sigma}{\omega}$ називається комплексною діелектричною проникністю середовища:

$$\varepsilon_{\text{к}} = \varepsilon - i \frac{\sigma}{\omega}. \tag{1.33}$$

Уявна частина $\varepsilon_{\text{к}}$ враховує втрати енергії в середовищі. При відсутності втрат енергії ($\sigma = 0$) діелектрична проникність залишається дійсною. Використовуючи поняття комплексної діелектричної проникності, густину струму в поглинальному середовищі можна записати у вигляді:

$$\dot{\delta} = i \omega \varepsilon_{\text{к}} \dot{E}. \tag{1.34}$$

Формула (1.34) відрізняється від ф-ли (1.8) тільки коефіцієнтом. Отже, вираз для поля плоскої хвилі в поглинальному середовищі можна отримати з виразу, справедливого для ідеального діелектрика, замінивши $\varepsilon$ на $\varepsilon_{\text{к}}$.

Цю заміну необхідно проводити при символічній формі запису, оскільки при введенні $\varepsilon_{\text{к}}$ ми використовували символічний метод. При заміні $\varepsilon$ на $\varepsilon_{\text{к}}$ хвильове число $\dot{k} = \omega \sqrt{\mu \varepsilon_{\text{к}}}$ ¹) стає комплексним, і його можна представити у вигляді:

$$\dot{k} = \omega \sqrt{\mu \varepsilon_{\text{к}}} = k’ - i \alpha. \tag{1.35}$$

Підставляючи комплексне хвильове число (1.35) в ф-лу (1.28), отримуємо:

$$\dot{E} = E_m e^{i \omega t - i (k’ - i \alpha) y}$$

або

$$\dot{E} = E_m e^{- \alpha y} e^{i (\omega t - k’ y)}. \tag{1.36}$$

У дійсній формі:

$$E = E_m e^{- \alpha y} \cos (\omega t - k’ y). \tag{1.37}$$

Отриманий вираз для поля плоскої хвилі в поглинальному середовищі аналогічний формулі для напруги в довгій лінії з втратами.

Величина $k’$ має той самий фізичний зміст, що і величина $k$ в ф-лі (1.26): $k’$ показує зсув фаз, що набувається хвилею на одиниці шляху; $k’$ пов’язана з довжиною хвилі формулою:

$$k’ = \frac{2\pi}{\lambda}, \tag{1.38}$$

де $\lambda$ — довжина хвилі в розглянутому середовищі.

Коефіцієнт $\alpha$ називається коефіцієнтом поглинання, $\alpha$ характеризує втрати енергії в середовищі на одиницю шляху.

¹ Ми будемо розглядати тільки середовища, що мають таку ж магнітну проникність, як і вільний простір.

Формулу (1.37) можна переписати у вигляді:

$$E = E_m e^{-\alpha y} \cos \omega \left( t - \frac{k’}{\omega} y \right)$$

або

$$E = E_m e^{-\alpha y} \cos \omega \left( t - \frac{y}{v_{\phi}} \right). \tag{1.39}$$

Величина $v_{\phi} = \frac{\omega}{k’}$ показує швидкість розповсюдження фази хвилі та називається фазовою швидкістю.

Для того щоб з’ясувати залежність величин $v_{\phi}$ та $\alpha$ від параметрів середовища, представимо ф-лу (1.35) у вигляді:

$$\dot{k} = \omega \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0} \sqrt{\frac{\varepsilon_{\text{к}}}{\varepsilon_0}} = \frac{\omega}{c} \sqrt{\varepsilon_{\text{к}}’}, \tag{1.40}$$

де $\varepsilon_{\text{к}}’ = \frac{\varepsilon_{\text{к}}}{\varepsilon_0} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} - i \frac{\sigma}{\omega \varepsilon_0}$ — відносна комплексна діелектрична проникність. $\sqrt{\varepsilon_{\text{к}}’}$ зручно записати у вигляді:

$$\sqrt{\varepsilon_{\text{к}}’} = n - i p. \tag{1.41}$$

Формула (1.40) з урахуванням (1.41) приводиться до вигляду:

$$\dot{k} = \frac{\omega}{c} (n - i p)$$

або, враховуючи, що $\frac{\omega}{c} = \frac{2 \pi}{\lambda_0}$, отримаємо:

$$\dot{k} = k’ - i \alpha = \frac{2 \pi}{\lambda_0} n - i \frac{2 \pi}{\lambda_0} p, \tag{1.42}$$

де $\lambda_0$ — довжина хвилі даної частоти у вакуумі. Із ф-ли (1.42) випливає:

$$k’ = \frac{2 \pi}{\lambda_0} n. \tag{1.43}$$

Порівнюючи останній вираз із (1.38), отримуємо:

$$\lambda = \frac{\lambda_0}{n}. \tag{1.44}$$

Переходячи від довжини хвилі до частоти, можна записати $\frac{v_{\phi}}{f} = \frac{c}{f n}$. Звідси фазова швидкість хвилі в середовищі:

$$v_{\phi} = \frac{c}{n}. \tag{1.45}$$

Таким чином, фазова швидкість хвилі в середовищі відрізняється від швидкості у вільному просторі в $n$ разів. У стільки ж разів відрізняється і довжина хвилі в середовищі від довжини хвилі у вільному просторі. В ідеальному діелектрику:

$$n = \sqrt{\varepsilon’}. \tag{1.46}$$

У поглинальному середовищі $n$ залежить не тільки від $\varepsilon’$, але також від $\sigma$ і частоти поля [ф-ли (1.40) і (1.41)].

Згадаємо, що фазова швидкість $v_{\phi}$ — це швидкість, з якою поширюється фаза гармонічної хвилі, тобто якийсь певний стан гармонічного коливання, наприклад, максимум. Реальний сигнал (телеграфний, телефонний тощо) має складну форму і являє собою суму елементарних гармонічних коливань різної частоти. У середовищах, де коефіцієнт заломлення $n$ залежить від частоти, наприклад у середовищі з втратами, окремі гармонічні складові сигналу мають різну фазову швидкість. Загалом це призводить до спотворення форми огинаючої сигналу в процесі поширення. Якщо розбіжності по частоті окремих складових сигналу невеликі порівняно з середнім значенням частоти (наприклад, порівняно з несівною частотою при амплітудній модуляції), то спотворення огинаючої виходять невеликими, оскільки різниця фазових швидкостей окремих гармонік при цьому невелика. У цьому випадку швидкість поширення сигналу в цілому можна охарактеризувати швидкістю переміщення максимуму огинаючої. Цю швидкість називають груповою. Оскільки максимум огинаючої збігається з максимумом енергії, яку переносить сигнал, то групову швидкість можна розглядати як швидкість переміщення енергії сигналу.

Групова швидкість не відрізняється від фазової в тих середовищах, у яких коефіцієнт заломлення не залежить від частоти, оскільки в цих середовищах усі гармонічні складові сигналу поширюються з однаковою фазовою швидкістю. Такі середовища називаються недиспергуючими. Якщо ж коефіцієнт заломлення залежить від частоти, то групова швидкість відрізняється від фазової, і середовище називається диспергуючим. Середовище з втратами є диспергуючим середовищем.

Для ілюстрації особливостей поширення радіохвилі в поглинальному середовищі на рис. 1.14 представлена картина електричного поля плоскої радіохвилі в певний момент часу. На рис. 1.15 зображені графіки залежності напруженості поля від часу для двох точок $a$ і $b$, що знаходяться на різних відстанях по осі $y$ від початку координат. У табл. 1.3 наведено величини, що характеризують особливості поширення радіохвиль у різних середовищах. У цій таблиці через $y_0$ позначено відстань, на якій амплітуда поля послаблюється в даному середовищі в мільйон разів. Як видно з таблиці, найбільш глибоко в поглинальне середовище проникають наддовгі хвилі.

ТАБЛИЦЯ 1.3