При вивченні електромагнітних полів, зокрема, при розв’язанні задач, пов’язаних із випромінюванням і поширенням радіохвиль, необхідно вміти визначати електричну та магнітну складові поля, якщо відомі характеристики джерел поля, або за заданими характеристиками поля вміти визначати джерела, здатні створити задане поле.
Розв’язувати такі задачі дозволяє система основних рівнянь електромагнітного поля, які називаються рівняннями Максвелла. Ці рівняння були отримані Максвеллом, як указувалося вище, в результаті узагальнення ряду експериментальних законів електромагнетизму, раніше відкритих іншими вченими. Узагальнення цих законів і запис несуперечливих одне одному рівнянь виявилися можливими лише після введення Максвеллом поняття про струм зміщення. Пояснимо суть струму зміщення, розглядаючи ланцюг заряду конденсатора (рис. 1.6). До Максвелла вважали, що при заряді або розряді конденсатора у разі відсутності зарядів між його обкладками струм протікає тільки в проводах, підведених до конденсатора. Максвелл показав, що будь-яку зміну електричного поля в часі слід розглядати як ток, названий ним струмом зміщення. Отже, оскільки при розряді або заряді конденсатора змінюється електричне поле між обкладками, у просторі між ними існує струм.
Визначимо густину струму зміщення. Будемо вважати електричне поле між пластинами конденсатора однорідним. У цьому випадку ємність плоского конденсатора визначається формулою:
$$C = \varepsilon \frac{S}{l}, \tag{1.4}$$
де $\varepsilon$ — діелектрична проникність середовища між обкладками конденсатора, $S$ — площа пластин, $l$ — відстань між пластинами.
В однорідному полі напруга між обкладками конденсатора $u_C = E l$. Струм зміщення, що протікає через конденсатор:
$$i = C \frac{du_C}{dt} = \varepsilon \frac{S}{l} \frac{d(E l)}{dt} = \varepsilon S \frac{dE}{dt}. \tag{1.5}$$
Густина струму зміщення
$$\delta_{\text{зм}} = \frac{i}{S} = \varepsilon \frac{dE}{dt} \tag{1.6}$$
або, враховуючи, що $\delta_{\text{зм}}$ і $\mathbf{E}$ — векторні величини,
$$\boldsymbol{\delta}_{\text{зм}} = \varepsilon \frac{d\mathbf{E}}{dt}. \tag{1.7}$$
Для поля, що змінюється за гармонічним законом, ф-лу (1.7) можна записати в символічній формі:¹)
$$\dot{\boldsymbol{\delta}}_{\text{зм}} = i \omega \varepsilon \dot{\mathbf{E}}. \tag{1.8}$$
Оскільки $\varepsilon \mathbf{E} = \mathbf{D}$, де $\mathbf{D}$ — відомий із курсу фізики вектор електричного зміщення, ф-лу (1.7) можна записати у вигляді
$$\boldsymbol{\delta}_{\text{зм}} = \frac{d\mathbf{D}}{dt}. \tag{1.9}$$
Ми отримали вираз для густини струму зміщення, розглядаючи однорідне електричне поле. Аналіз показує, що ф-ла (1.9) справедлива в найзагальнішому випадку. Отриманий вираз підтверджує, що цей струм являє собою не що інше, як зміну електричного поля в часі.
Струм зміщення так само, як і струм провідності, має основну властивість струму — він створює магнітне поле. Струм зміщення, звичайно, не такий матеріальний, як струм провідності. У разі струму зміщення спостерігається не рух зарядів, як при струмі провідності, а рух у вигляді зміни електричного поля. Струм зміщення може існувати як у діелектрику, так і у вільному просторі. Тільки цей струм забезпечує поширення електромагнітних хвиль далеко від джерел, створених руками людини. Експерименти Г. Герца та П. М. Лебедєва, що підтвердили існування електромагнітних хвиль, тим самим підтвердили гіпотезу Максвелла про струм зміщення. Розвиток теорії електромагнітного поля увінчався винаходом радіо А. С. Поповим.
У рівняння Максвелла входять величини, що характеризують: поле, середовище, в якому існує поле, і джерела поля. В інтегральній формі рівняння Максвелла записуються наступним чином:
$$\text{I рівняння } \oint_L \mathbf{H} d\mathbf{l} = \int_S \left( \boldsymbol{\delta}_{\text{пр}} + \frac{d\mathbf{D}}{dt} \right) d\mathbf{S}; \tag{1.10}$$
$$\text{II рівняння } \oint_L \mathbf{E} d\mathbf{l} = - \frac{d}{dt} \int_S \mathbf{B} d\mathbf{S}; \tag{1.11}$$
$$\text{III рівняння } \oint_S \mathbf{D} d\mathbf{S} = \int_V \rho dV; \tag{1.12}$$
$$\text{IV рівняння } \oint_S \mathbf{B} d\mathbf{S} = 0. \tag{1.13}$$
Крім величин, уже зустрічалися в попередніх параграфах, у ці рівняння входять: $\boldsymbol{\delta}_{\text{пр}}$ — вектор густини струму провідності та $\rho$ — об’ємна густина електричного заряду.
Для розуміння фізичного змісту рівнянь Максвелла необхідно згадати властивості інтегралів, що входять у ці рівняння. Інтеграл виду $\oint_L \mathbf{A} d\mathbf{l} = C_A$ називається циркуляцією вектора A по замкнутому контуру $L$. Тут $\mathbf{A} d\mathbf{l}$ — скалярний добуток вектора на елемент довжини контуру (, де — кут між векторами і ). Якщо має зміст сили, що діє на заряд, поміщений у поле, то циркуляція визначає роботу, що здійснюється полем вектора при переміщенні заряду по замкнутому контуру. Знак циркуляції характеризує зміну енергії в полі при переміщенні заряду. Якщо циркуляція позитивна, то поле здійснює роботу при переміщенні заряду, і енергія поля при цьому зменшується; якщо циркуляція негативна, то при переміщенні заряду полю віддається енергія від зовнішнього джерела, енергія поля зростає. За величиною циркуляції можна судити про характер силових ліній поля вектора . Якщо циркуляція дорівнює нулю, то лінії поля не замкнуті. Якщо циркуляція вектора не дорівнює нулю, то силові лінії являють собою замкнуті криві (наприклад, окружності).
Інтеграл виду $\int_S N dS$, що стоїть у правих частинах I і II рівнянь, називається потоком вектора N через поверхню $S$. Підінтегральний вираз у цьому інтегралі являє собою скалярний добуток вектора $\mathbf{N}$ на вектор $d\mathbf{S}$, що характеризує елемент поверхні. Вектор $d\mathbf{S}$ чисельно дорівнює площі елемента поверхні і спрямований по нормалі до цього елемента (рис. 1.7). Знак добутку $NdS$ характеризує напрямок силових ліній вектора $\mathbf{N}$, що пронизують елемент поверхні $d\mathbf{S}$.
Інтеграл виду $\oint_S \mathbf{A} d\mathbf{S} = \Phi_A$ (III і IV рівняння) називається потоком вектора A через замкнуту поверхню $S$. Позитивний напрямок вектора $d\mathbf{S}$ при визначенні потоку через замкнуту поверхню збігається з нормаллю, що виходить з об’єму. За знаком потоку можна визначити наявність джерел або стоків вектора $\mathbf{A}$ всередині об’єму $V_S$, охопленого поверхнею $S$. Якщо поток позитивний, то це означає, що із замкнутої поверхні виходить більше силових ліній, ніж входить у неї, отже, в об’ємі $V_S$ є джерела (наприклад, для поля вектора E джерелами є позитивні заряди). Негативний знак потоку $\Phi_A$ говорить про наявність стоків поля всередині об’єму $V_S$ (наприклад, негативних зарядів для поля вектора E). Потік через замкнуту поверхню дорівнює нулю у разі відсутності джерел і стоків поля в межах об’єму $V_S$. У цьому випадку число силових ліній вектора A, що входять в об’єм і виходять із нього, однакове, силові лінії не мають у межах об’єму ні початку, ні кінця.
Необхідно зазначити, що контури і поверхні, що фігурують у рівняннях Максвелла, являють собою математичні поняття і зовсім не повинні бути виконані з будь-якого матеріалу.
Перейдемо до розгляду фізичного змісту рівнянь Максвелла. I рівняння Максвелла (його часто називають законом повного струму) аналітично виражає той факт, що, якщо будь-яку поверхню пронизують силові лінії вектора густини струму, то циркуляція вектора H по замкнутому контуру, що обмежує цю поверхню, не дорівнює нулю. Це означає, що навколо силових ліній вектора густини струму існують замкнуті силові лінії магнітного поля, магнітне поле має вихровий характер. Необхідно звернути увагу на те, що джерелом вихрового магнітного поля може бути як ток провідності, так і ток зміщення, або обидва токи разом. Отже, I рівняння Максвелла показує, що джерелами магнітного поля з замкнутими силовими лініями, тобто джерелами вихрового магнітного поля, є ток провідності і ток зміщення.
II рівняння Максвелла (закон електромагнітної індукції) аналітично виражає той факт, що, якщо потік вектора магнітної індукції B, що пронизує поверхню $S$, змінюється в часі, то циркуляція вектора E по замкнутому контуру, що обмежує цю поверхню, не дорівнює нулю. Це означає, що джерелом вихрового електричного поля є змінне в часі (перемінне) магнітне поле. Вихрове електричне поле не існує, якщо магнітне поле постійне, тобто якщо похідна за часом від магнітного потоку дорівнює нулю. Протилежні знаки в правих частинах I і II рівнянь Максвелла вказують на той експериментальний факт, що змінюваний магнітний потік створює таку ерс $\oint_L \mathbf{E} d\mathbf{l}$, яка перешкоджає цій зміні магнітного потоку.
III рівняння Максвелла (закон Гаусса) узагальнює той факт, що джерелом безвихрового електричного поля, силові лінії якого не замкнуті, є електричні заряди. Інтеграл, що стоїть у правій частині цього рівняння, дорівнює заряду, зосередженому в об’ємі $V_S$, обмеженому поверхнею $S$. Ліва частина III рівняння Максвелла являє собою потік вектора D через цю поверхню $S$.
IV рівняння Максвелла аналітично виражає той експериментальний факт, що в природі не існують магнітні заряди — джерела векторів магнітного поля. Дійсно, у IV рівнянні записано, що потік вектора B, що проходить через замкнуту поверхню, завжди дорівнює нулю. Це означає, що силові лінії вектора B завжди замкнуті, тобто не мають ні початку (джерела), ні кінця (стоку).
Ми розглянули, як рівняння Максвелла пов’язують джерела поля з полем. Вплив середовища на поле враховується в рівняннях Максвелла тим, що в них фігурують вектори D і E для опису електричного поля і вектори B і H — для опису магнітного. Зв’язок між векторами D і E і між векторами B і H залежить від середовища, в якому існує поле. Ми будемо зустрічатися в основному з середовищами, в яких зв’язок між цими векторами визначається відомими з курсу фізики виразами $\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}$ і $\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}$.
Перші два рівняння Максвелла є головними в системі рівнянь, оскільки описують умови виникнення та існування перемінного електромагнітного поля. Дійсно, нехай у якій-небудь області простору є відрізок провідника, що живиться від генератора перемінного струму. Через це по проводу протікає перемінний ток провідності $i$, у проводі існує щільність струму провідності $\delta_{\text{пр}}$. Згідно з першим рівнянням Максвелла в просторі навколо провода з’являється магнітне поле із замкнутими силовими лініями. Це поле змінюється в часі відповідно до зміни току в проводі. Згідно з другим рівнянням зміна магнітного поля в часі $\frac{d\mathbf{B}}{dt}$ призводить до появи перемінного електричного поля із замкнутими силовими лініями, що охоплюють сусідні області простору. З’явлене перемінне електричне поле створює в просторі ток зміщення (щільність току зміщення $\frac{d\mathbf{D}}{dt}$), який згідно з першим рівнянням Максвелла викликає нові вихори магнітного поля і т. д. (рис. 1.8).
Розглянутий процес поширюється в середовищі, що оточує первинне джерело поля, «самопідтримуючись». Якщо, наприклад, прибрати провід, обтікаємий током провідності, то все одно в навколишньому середовищі буде тривати поширення виниклого електромагнітного поля — ток зміщення буде викликати перемінне магнітне поле, яке, у свою чергу, буде створювати перемінне електричне поле і ток зміщення в сусідніх областях простору. Як уже зазначалося, Максвелл показав, що цей процес поширюється у вільному просторі зі швидкістю $v$, що збігається зі швидкістю світла. Процес поширення перемінного електромагнітного поля називається електромагнітною хвилею.